Comment démontrer qu'un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel ?
Pour démontrer qu'un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel, nous devons vérifier deux conditions : 1. Le sous-ensemble est non vide et contient le vecteur nul \( \mathbf{0} \). 2. Le sous-ensemble est fermé sous l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire. En utilisant les informations fournies, nous pouvons formuler une démonstration générale et ensuite l'appliquer à l'exemple donné. Démonstration générale : Soit \( V \) un espace vectoriel et \( W \) un sous-ensemble non vide de \( V \). (i) Si \( W \) est un sous-espace vectoriel de \( V \), alors \( 0 \in W \) (ou \( W \neq \emptyset \)). (ii) Si \( W \) est un sous-espace vectoriel de \( V \), alors pour tout \( v, w \in W \) et pour tout \( k, l \in K \), \( vk + wl \in W \). Maintenant, appliquons cette démonstration à l'exemple donné : Exemple : Montrons que l'ensemble \( W \) de vecteurs de \( \mathbb{R}^3 \) dont la première composante est nulle est un sous-espace vectoriel de \...
