Comment démontrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe ?

    Pour démontrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe, vous devez vérifier quatre propriétés fondamentales : la fermeture, l'existence d'un élément neutre, l'associativité et l'existence d'un inverse. Voici en détail chacune de ces propriétés, avec des exemples pour illustrer.

1. Fermeture : Pour chaque paire d'éléments dans l'ensemble, leur produit (ou résultat de la loi) doit également appartenir à l'ensemble. La loi doit être une loi de composition interne.

   Exemple : L'ensemble des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \) muni de l'addition : l'addition est une loi de composition interne car l'addition de deux entiers relatifs donne toujours un entier relatif, c'est-à-dire la somme de deux entiers est toujours un entier.

2. Existence d'un élément neutre : Il doit exister un élément dans l'ensemble qui, lorsqu'il est combiné avec n'importe quel autre élément de l'ensemble, ne change pas la valeur de cet autre élément.

   Exemple : L'ensemble des nombres réels non nuls \( \mathbb{R} \text{*} \) muni de la multiplication admet un élément neutre qui est 1. En multipliant n'importe quel nombre réel non nul par 1, on obtient le même nombre réel.

3. Associativité : Pour tout triplet d'éléments \( a, b \text{ et } c \) de l'ensemble, l'opération doit obéir à la règle d'associativité : \( (a * b) * c = a * (b * c) \).

    Exemple : Dans \( \mathbb{R} \), l'addition est associative : \( 2+(3+1)=(2+3)+1 \) et c'est vraie pour tout triplet de réels.

4. Existence d'un inverse : Pour chaque élément \(a\) de l'ensemble, il doit exister un élément \( a^{-1} \) dans l'ensemble tel que \( a*a^{-1} = a^{-1}*a \) soit l'élément neutre.

   Exemple : Dans l'ensemble des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \) muni de l'addition, chaque entier relatif a un inverse additif qui est son opposé. Par exemple, l'inverse de 5 est -5, car 5 + (-5) = 0.

En résumé, un ensemble muni d'une loi est un groupe si et seulement si il satisfait ces quatre propriétés : fermeture, existence d'un élément neutre, associativité et existence d'un inverse. Assurez-vous de démontrer chaque propriété pour montrer formellement qu'un ensemble donné forme un groupe.