Comment démontrer qu'un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel ?

 Pour démontrer qu'un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel, nous devons vérifier deux conditions :

1. Le sous-ensemble est non vide et contient le vecteur nul \( \mathbf{0} \).

2. Le sous-ensemble est fermé sous l'addition vectorielle et la multiplication par un scalaire.

En utilisant les informations fournies, nous pouvons formuler une démonstration générale et ensuite l'appliquer à l'exemple donné.

Démonstration générale :

Soit \( V \) un espace vectoriel et \( W \) un sous-ensemble non vide de \( V \).

(i) Si \( W \) est un sous-espace vectoriel de \( V \), alors \( 0 \in W \) (ou \( W \neq \emptyset \)).

(ii) Si \( W \) est un sous-espace vectoriel de \( V \), alors pour tout \( v, w \in W \) et pour tout \( k, l \in K \), \( vk + wl \in W \).

Maintenant, appliquons cette démonstration à l'exemple donné :

Exemple : Montrons que l'ensemble \( W \) de vecteurs de \( \mathbb{R}^3 \) dont la première composante est nulle est un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{R}^3 \).

Démonstration :

Considérons \( W \) comme l'ensemble des vecteurs \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} \) tels que \( v_2 \) et \( v_3 \) appartiennent à \( \mathbb{R} \).

(i) Pour montrer que \( W \) est un sous-espace vectoriel, nous devons montrer que \( 0 \) appartient à \( W \). En prenant \( \mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \), nous voyons que \( \mathbf{0} \) appartient à \( W \).

(ii) Maintenant, soit \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} \) et \( \mathbf{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix} \) deux vecteurs appartenant à \( W \), et \( k \) et \( l \) des scalaires quelconques. Alors, \( k \mathbf{v} + l \mathbf{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ kv_2 + lw_2 \\ kv_3 + lw_3 \end{bmatrix} \). Puisque \( v_2, w_2, v_3, w_3 \) sont des nombres réels, les composantes de \( k \mathbf{v} + l \mathbf{w} \) appartiennent à \( \mathbb{R} \), ce qui signifie que \( k \mathbf{v} + l \mathbf{w} \) appartient à \( W \).

Ainsi, les deux conditions sont satisfaites, ce qui implique que \( W \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{R}^3 \).

En conclusion, pour montrer qu'un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel, il faut démontrer que les conditions (i) et (ii) sont satisfaites, comme expliqué dans la démonstration générale et l'exemple donné.