Comment faire une démonstration en math ?

Les démonstrations en mathématiques sont un pilier essentiel pour prouver des théorèmes et établir des vérités. Cependant, pour de nombreux étudiants, elles peuvent se révéler redoutablement difficiles. Dans cet article, nous mettrons l'accent sur les défis que rencontrent souvent les étudiants lorsqu'ils se lancent dans une démonstration. Nous vous guiderons à travers deux étapes clés pour réussir une démonstration mathématique : la traduction des termes en expressions mathématiques précises et l'établissement d'une logique rigoureuse. Pour illustrer ces étapes, nous utiliserons l'exemple de la démonstration de "si \( n^2 \) est pair, alors \( n \) est pair" en utilisant la technique de la contraposition.

Étape 1: Traduire les vocabulaires en expressions mathématiques

Chaque problème mathématique est accompagné de termes spécifiques qui nécessitent une traduction en expressions mathématiques pour une analyse rigoureuse. Pour cela, il est essentiel de comprendre la définition mathématique de chaque terme. Par exemple:

- Entier impair: Un entier est dit impair s'il ne peut pas être divisé par 2 sans laisser de reste. Sa définition mathématique peut être exprimée comme \( n = 2k + 1 \), où \( k \) est un entier.

- Fonction croissante: Une fonction est dite croissante si pour tout \( x₁ \) et \( x₂ \) dans son domaine de définition, si \( x₁ < x₂ \), alors \( f(x₁) ≤ f(x₂) \). Sa définition mathématique est donc exprimée par cette inégalité.

Étape 2: Établir la logique mathématique

Une fois que nous avons traduit les termes en expressions mathématiques, nous utilisons la logique mathématique pour construire notre démonstration. La logique formelle nous permet de déduire des conclusions à partir de prémisses et d'affirmer la validité de notre théorème. Dans le cas de notre exemple "si \( n² \) est pair alors \( n \) est pair," nous utiliserons la technique de la contraposition.

Démonstration de "si \( n² \) est pair alors \( n \) est pair" par contraposition:

La contraposition est une méthode de preuve qui repose sur la négation des hypothèses et des conclusions. Pour prouver notre déclaration, nous allons montrer que si \( n \) est impair, alors \( n² \) est impair. 

Supposons que \( n \) est impair, alors selon la définition d'un entier impair, nous pouvons l'écrire comme \( n = 2k + 1 \), où \( k \) est un entier. Maintenant, élevons \( n \) au carré:

\( n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 \).

Nous voyons que \( n² \) est exprimé comme \( 4k² + 4k + 1 \), où \( k \) est un entier. Remarquons que \( n² \) est de la forme \( 2m + 1 \), où \( m = 2k² + 2k \), également un entier. Cela signifie que \( n² \) est un entier impair.

En conclusion, cet article souligne l'importance des démonstrations en mathématiques tout en reconnaissant les défis qu'elles peuvent représenter pour les étudiants. Il met en avant deux étapes cruciales pour réussir une démonstration : la traduction précise des termes en expressions mathématiques et l'établissement d'une logique rigoureuse. L'exemple de la démonstration de "si \( n^2 \)est pair, alors \( n \) est pair" en utilisant la technique de la contraposition illustre ces étapes de manière concrète. En maîtrisant ces méthodes, les étudiants pourront améliorer leurs compétences en démonstration mathématique et renforcer leur compréhension des théorèmes et des vérités établies.😉