Comment démontrer qu'un ensemble est un espace vectoriel ?

    Pour démontrer qu'un ensemble est un espace vectoriel, il est nécessaire de vérifier que l'ensemble satisfait toutes les conditions énumérées ci-après. 

Notez bien qu'il s'agit d'une vérification si tel ou tel ensemble est un espace vectoriel. La démonstration est plus courte si c'est pour un sous-espace vectoriel.

Supposons que nous ayons un ensemble non vide \(V\), une loi de composition interne \(+\), une multiplication par des scalaires de \(K\) (un corps de scalaires) : \( \cdot \), et un élément spécial \(0\) comme décrit dans l'énoncé.

Pour démontrer que \(V\) muni de \(+\) et \( \cdot \) est un espace vectoriel, il faut vérifier les propriétés suivantes : 

1. Associativité de l'addition: \(\forall u, v, w \in V \quad (u + v) + w = u + (v + w)\)

   Cette propriété exprime que l'opération d'addition dans l'espace vectoriel est associative, c'est-à-dire que l'ordre dans lequel les éléments sont additionnés n'affecte pas le résultat final.

2. Commutativité de l'addition: \(\forall u, v \in V \quad u + v = v + u\)

   Cette propriété indique que peu importe l'ordre dans lequel les éléments sont ajoutés, le résultat est le même. L'opération d'addition est commutative.

3. Élément neutre de l'addition: \(\forall u \in V \quad u + 0 = 0 + u = u\)

   Cela montre que l'élément \(0\) agit comme un élément neutre pour l'opération d'addition. Ajouter \(0\) à n'importe quel élément de l'espace vectoriel n'affecte pas cet élément.

4. Inverse additive: \(\forall u \in V \quad \exists -u \in V \quad u + (-u) = (-u) + u = 0\)

   Cette propriété garantit qu'à chaque élément de l'espace vectoriel \(u\), il existe un élément \(−u\) dans le même espace, tel que leur somme donne l'élément neutre \(0\).

5. Distributivité de la multiplication par un scalaire par rapport à l'addition: \(\forall u, v \in V \quad \forall k \in \mathbb{K} \quad k \cdot (u + v) = k \cdot u + k \cdot v\)

   Cela démontre que la multiplication d'un scalaire \(k\) avec la somme de deux vecteurs \(u\) et \(v\) est équivalente à la somme des produits individuels de \(k\) avec \(u\) et \(v\).

6. Distributivité de l'addition des scalaires: \(\forall u \in V \quad \forall k, l \in \mathbb{K} \quad (k + l) \cdot u = k \cdot u + l \cdot u\)

   Cette propriété affirme que l'addition des scalaires \(k\) et \(l\) multipliée par un vecteur \(u\) est équivalente à la somme des produits individuels de \(k\) et \(l\) avec \(u\).

7. Multiplication par un scalaire associé: \(\forall u \in V \quad \forall k, l \in \mathbb{K} \quad (kl) \cdot u = k \cdot (l \cdot u)\)

   Cela montre que la multiplication de deux scalaires \(k\) et \(l\) avec un vecteur \(u\) peut être effectuée de manière associative.

8. Multiplication par l'identité: \(\forall u \in V \quad 1 \cdot u = u\)

   Cette propriété indique que la multiplication d'un vecteur par l'élément neutre multiplicatif \(1\) ne change pas le vecteur.

En vérifiant que l'ensemble \(V\) satisfait ces propriétés, vous pouvez démontrer de manière rigoureuse qu'il s'agit d'un espace vectoriel sur \(K\) conformément aux axiomes donnés.