Comment démontrer qu'un ensemble est dénombrable ?

    Pour montrer qu'un ensemble est dénombrable, nous devons démontrer l'existence d'une injection de cet ensemble dans l'ensemble des nombres naturels \(\mathbb{N}\). En d'autres termes, nous cherchons une application \(f : A \rightarrow \mathbb{N}\), où \(A\) est l'ensemble que nous voulons montrer dénombrable, telle que si \(f(a) = f(b)\), alors \(a = b\).

Voici les étapes détaillées pour démontrer l'injectivité de \(f\) :

1. Définir la fonction \(f\) : Commencez par définir une application \(f : A \rightarrow \mathbb{N}\) qui associe chaque élément de \(A\) à un nombre naturel.

2. Supposer \(f(a) = f(b)\) : Supposons que \(f(a) = f(b)\) pour deux éléments \(a\) et \(b\) de l'ensemble \(A\).

3. Montrer \(a = b\) : Maintenant, utilisez cette supposition pour montrer que \(a = b\). Vous pouvez utiliser des propriétés spécifiques de l'application \(f\) ou de l'ensemble \(A\) pour établir cette égalité.

4. Conclure l'injectivité : Puisque vous avez montré que si \(f(a) = f(b)\), alors \(a = b\), vous avez montré que \(f\) est une application injective.

Il est important de noter que la démonstration spécifique de l'injectivité dépendra de l'ensemble \(A\) que vous étudiez et de la fonction \(f\) que vous choisissez. Cependant, l'idée générale reste la même : montrer que chaque élément de \(A\) est associé de manière unique à un élément de \(\mathbb{N}\), ce qui démontre l'injectivité et donc la dénombrabilité de \(A\).