Démontrer que \( (\mathbb{Z}, +) \) est un groupe abélien.

Pour démontrer que l'ensemble des entiers relatifs \( (\mathbb{Z}, +) \) est un groupe abélien, nous devons montrer deux propriétés : la propriété de groupe et la propriété d'abélianité.

Propriété de groupe :

Un ensemble muni d'une opération est un groupe si les quatre propriétés suivantes sont satisfaites :

1. Associativité : Pour tout \(a, b, c \in \mathbb{Z}\) , \( (a + b) + c = a + (b + c)\).

2. Élément neutre : Il existe un élément neutre \(e\) dans \( \mathbb{Z}\) tel que pour tout \( a \in \mathbb{Z}\), \(a + e = a\) et \(e + a = a\).

3. Inverse : Pour tout \( a \in \mathbb{Z} \), il existe un élément \(b\) dans \(\mathbb{Z}\) tel que \(a + b = e\) et \(b + a = e\).

4. Fermeture : Pour tout \(a, b \in \mathbb{Z}\), \(a + b \in \mathbb{Z}\).

Ces propriétés sont vérifiées pour l'ensemble des entiers relatifs, car les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication sont définies sur cet ensemble. L'addition est associative, l'élément neutre est 0, l'inverse d'un entier \(a\) est \(-a\), et la fermeture est assurée car la somme de deux entiers reste un entier.

Propriété d'abélianité:

Un groupe est abélien (ou commutatif) si, pour tout \(a, b \in \mathbb{Z}\), \(a + b = b + a\).

Cette propriété est également vérifiée pour l'ensemble des entiers relatifs, car l'addition est commutative pour tous les entiers.

Propriété de groupe :

1. Associativité :\( (a + b) + c = a + (b + c) \)

2. Élément neutre :\( \exists\, e \in \mathbb{Z} \text{ tel que } a + e = a \text{ et } e + a = a \)

3. Inverse :\( \forall\, a \in \mathbb{Z}, \exists\, b \in \mathbb{Z} \text{ tel que } a + b = e \text{ et } b + a = e \)

4. Fermeture :\( a + b \in \mathbb{Z} \)

Propriété d'abélianité :

Un groupe est abélien si \( a + b = b + a \text{ pour tous } a, b \in \mathbb{Z}. \)

Cela démontre que l'ensemble des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \) forme un groupe abélien par rapport à l'opération d'addition.