Démontrer que \( \mathbb{Z} \) est dénombrable.

    Pour démontrer que l'ensemble des nombres entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) est dénombrable, nous allons construire une injection (ou une correspondance un à un) de \(\mathbb{Z}\) vers l'ensemble des nombres naturels \(\mathbb{N}\). Cela montrera que \(\mathbb{Z}\) peut être mis en correspondance un à un avec un sous-ensemble de \(\mathbb{N}\), ce qui implique que \(\mathbb{Z}\) est dénombrable.

Considérons l'application \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{N}\) définie comme suit :

\[f(a) = \begin{cases} 2a & \text{si } a \geq 0 \\ -2a - 1 & \text{si } a < 0 \end{cases}\]

Cette application associe chaque entier positif \(a\) à un nombre pair positif \(2a\), et chaque entier négatif \(a\) à un nombre impair positif \(-2a - 1\).

Maintenant, montrons que cette application est injective :

Supposons \(f(a) = f(b)\), où \(a\) et \(b\) sont deux entiers relatifs. Nous avons deux cas à considérer :

1. Si \(a\) et \(b\) sont tous les deux positifs : \(2a = 2b\), ce qui implique \(a = b\).

2. Si \(a\) et \(b\) sont tous les deux négatifs : \(-2a - 1 = -2b - 1\), ce qui implique \(a = b\).

3. Si \(a\) est positif et \(b\) est négatif : Dans ce cas, \(2a = -2b - 1\) n'a pas de solution entière, car un nombre pair est égal à un nombre impair moins un. Donc, ce cas est impossible.

4. Si \(a\) est négatif et \(b\) est positif : De même, \(-2a - 1 = 2b\) n'a pas de solution entière. Donc, ce cas est impossible.

Dans tous les cas, nous avons montré que si \(f(a) = f(b)\), alors \(a = b\), ce qui prouve que \(f\) est une injection.

En montrant qu'il existe une injection de \(\mathbb{Z}\) vers \(\mathbb{N}\), nous avons démontré que l'ensemble \(\mathbb{Z}\) est dénombrable.